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Chap 13 | “Randomized Algorithms”
章节启示录
摆烂了。……
1.概述¶
2.[Example] The Hiring Problem¶
- 从猎头公司聘请办公室助理
- 每天面试不同的申请人，持续 N 天
- 面试成本 = \(C_i\) << 招聘成本 = \(C_h\)
- 分析面试和招聘成本，而不是运行时间
假设雇用了 \(M\) 人。 总成本：\(O(NC_i+MC_h)\)
- 朴素的解决方案
int Hiring ( EventType C[ ], int N )
{ /* candidate 0 is a least-qualified dummy candidate */
int Best = 0;
int BestQ = the quality of candidate 0;
for ( i=1; i<=N; i++ ) {
Qi = interview( i ); /* Ci */
if ( Qi > BestQ ) {
BestQ = Qi;
Best = i;
hire( i ); /* Ch */
}
}
return Best;
}
- 假设候选人以随机顺序到达
随机性假设：到目前为止，前 \(i\) 名候选人中的任何一个都同样可能最有资格
int RandomizedHiring ( EventType C[ ], int N )
{ /* candidate 0 is a least-qualified dummy candidate */
int Best = 0;
int BestQ = the quality of candidate 0;
randomly permute the list of candidates;
for ( i=1; i<=N; i++ ) {
Qi = interview( i ); /* Ci */
if ( Qi > BestQ ) {
BestQ = Qi;
Best = i;
hire( i ); /* Ch */
}
}
}
Online Hiring Algorithm – hire only once¶
int OnlineHiring ( EventType C[ ], int N, int k )
{
int Best = N;
int BestQ = - ;
for ( i=1; i<=k; i++ ) {
Qi = interview( i );
if ( Qi > BestQ ) BestQ = Qi;
}
for ( i=k+1; i<=N; i++ ) {
Qi = interview( i );
if ( Qi > BestQ ) {
Best = i;
break;
}
}
return Best;
}
当且仅当：{ A:= the best one is at position i } \(\cap\) { B:= no one at positions k+1 ~ i–1 are hired }
\[
Pr[S_i]=Pr[A\cap B] = Pr[A]*Pr[B]=(1/N)*(k/(i-1))=\frac{k}{N(i-1)}
\]
其中，
\[
Pr[B] = 1-Pr[\overline{B}]=1-(\frac{(i-1)-(k+1)+1}{i-1})=\frac{k}{i-1}
\]
\[
Pr[S] = \sum_{i=k+1}^{N}Pr[S_i]=\sum_{i=k+1}^{N}\frac{k}{N(i-1)}=\frac{k}{N}\sum_{i=k}^{N-1}\frac{1}{i}
\]
3.[Example] Quicksort¶
-
Central splitter := the pivot that divides the set so that each side contains at least n/4
小的部分要超过四分之一（大的部分不超过四分之三） -
Modified Quicksort := always select a central splitter before recursions
每次需要先找到Central splitter再继续，若找的不是Central splitter，则需重新寻找。 -
结论1：在我们找到Central splitter之前，所需的预期迭代次数最多为 2 次。
证明
其实用抽屉原理就可以证明。最坏情况时，选的不满足Central splitter的数量最多是 n/2 个。
-
Type j : the subproblem S is of type j if \(N(\frac{3}{4})^{j+1}≤|S|≤N(\frac{3}{4})^{j}\)
-
结论2：声明：最多存在 \((\frac{4}{3})^{j+1}\) 个 \(j\) 类型的子问题。
\[
E[T_{type_j}]=O(N(\frac{3}{4})^j)×(\frac{4}{3})^{j+1}=O(N)
\]
